Текущее время: понедельник, 25 сентября 2017, 05:45
Пользователи, которые читают эту тему: 1 гость
Новая тема Ответить
#1 Ссылка на пост Добавлено:
"Эффект бобочки" смотрели многие; физики, биологи, математики (особенно) и тп должны были это затрагивать на занятиях. Меня это волнует уже лет 7 (не смотря на то, что я "гуманитарий"), вот решила рискнуть и попробовать поднять эту темку на форуме.

Немного об этой теории:
"ХАОСА ТЕОРИЯ, раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.
Вплоть до 1960-х годов многим казалось естественным полагать, что динамическая система, описываемая простыми детерминистическими уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых весьма специальных случаях, таких, как Солнечная система. Однако к 1980 математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ.

Пример хаотического поведения из повседневной жизни – движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Ее соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдаленные области могут сближаться. Короче говоря, жидкость перемешивается – для этого миксеры и предназначены.

Выражение «теория хаоса» используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.

Основные принципы. Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет «разделить на два». Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность. Правило «возвести в квадрат и вычесть единицу», примененное к 0, дает последовательность –1, 0, –1, 0,..., которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и -1. Однако правило «возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу», если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности.

Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, -1); весь интервал чисел между –1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая. Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы – это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии.

Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера. После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо. Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно.

История вопроса. Понятие хаоса не было в явном виде сформулировано до 1960-х годов, но его истоки можно проследить начиная с последнего десятилетия 19 в., когда появилась удостоенная премии работа французского математика А.Пуанкаре о движении в Солнечной системе. Двумя столетиями раньше Ньютон установил закон всемирного тяготения, из которого вывел, что движение двух притягивающихся тел в отсутствие других сил описывается просто: каждое из них перемещается относительно их общего центра масс по одному из конических сечений – окружности, эллипсу, параболе, гиперболе или прямой. Для трех или большего числа тел, однако, нельзя найти подобного простого решения, и Пуанкаре показал, что эта трудность вызвана не недостатком человеческой изобретательности, а свойствами, внутренне присущими динамике многих тел. Он установил, что даже в ограниченной задаче трех тел, масса одного из которых пренебрежимо мала, возможно столь сложное движение, что его нельзя описать никакой математической формулой.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации. В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса. Сам термин «хаос» ввели Дж.Йорке и Т.Ли в 1975 в краткой статье, посвященной обсуждению некоторых результатов исследований российской школы.
#2 Ссылка на пост Добавлено:
Исследования хаотических систем время от времени появлялись и в литературе по прикладным вопросам. Наиболее известная из таких моделей была введена метеорологом Э.Лоренцем в 1963. Лоренц построил модель конвекции в атмосфере, создав приближения очень сложных уравнений, описывающих это явление, значительно более простыми уравнениями с тремя неизвестными. Численно решая их на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. Лоренц также установил, что если слегка изменять начальные значения переменных, то отклонения будут усиливаться, пока новое решение не окажется совершенно непохожим на исходное. Описание им этого явления в последующих лекциях привело к популярному ныне выражению «эффект бабочки»: взмах крыла бабочки может изменить погоду.

Примеры приложений. Теория хаоса находит приложения в широком спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким и регулярным), либо турбулентным (сложным и нерегулярным). До появления теории хаоса существовали две конкурирующие теории турбулентности. Первая из них представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды в молекулярных масштабах. В 1970 математики Д.Рюэль и Ф.Такенс предложили третью версию: турбулентность – это хаос в жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами. Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении. Ранняя работа Э.Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом состоянии подвержены «эффекту бабочки», так что погода обычно не может быть предсказана более чем на четыре или пять дней вперед – независимо от мощности используемых компьютеров.

Движение в Солнечной системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов лет, прежде чем какое-то изменение станет непредсказуемым. Хаос проявляет себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса объясняет также распределение тел в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других – пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся на расстояниях, образующих «резонансы» с Юпитером, т.е. период обращения каждого астероида составляет некую простую дробь с периодом обращения Юпитера. Например, в резонансе 2:3 период обращения астероида равен 2/3 периода обращения Юпитера. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие – неустойчивое (пустые промежутки). В частности, астероиды в резонансе 1:3 с Юпитером имеют неустойчивые орбиты и могут испытать возмущения, заставляющие их пересечь орбиту Марса, после чего они могут испытать дальнейшие возмущения и пересечь орбиту Земли. В 1995 Ж.Ласкар установил, что на временных масштабах десятков миллионов лет вся Солнечная система хаотична. Однако хаос не делает все черты движения в Солнечной системе непредсказуемыми. Например, форма планетной орбиты может быть предсказуемой, однако точное положение планеты на орбите остается непредсказуемым. Ласкар предсказал вероятное будущее Солнечной системы в целом на следующие несколько миллиардов лет. Согласно его вычислениям, ничего существенного не случится с орбитами внешних планет – Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона. Орбиты Земли и Венеры тоже не претерпели бы существенных изменений, если бы не Марс, орбита которого изменится настолько, что он едва не столкнется с Землей. Меркурий тоже приблизится к Венере и будет либо выброшен из Солнечной системы, либо поменяется местами с Венерой.

Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и обнаружения скрытых закономерностей там, где прежде систему считали случайной и никаких закономерностей в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует. Одним из приложений этого подхода служит машина FRACMAT, обеспечивающая дешевую и быструю процедуру контроля качества пружинной проволоки.

К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит «хаотическое управление». В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами. "
(данные эл. энциклопедии Кругосвет(Ролл))

Так вот, возможно, кто-то еще интересовался этим вопросом. Что Вы о ней думаете? Как думаете, насколько велик ее потенциал? Ведь многие изобретения, в основу которых она положена, играют очень не малую роль для человечества.
Словом, делитесь мыслями по повду)))
#3 Ссылка на пост Добавлено:
Теория Хаоса - произведение дядюшки Алистера Кроули, это совсем другая песня.
Интересовался потому... потому что об этом многие блэкари пели, тексты почитал, затем и Кроули.
Короче в оригинале Теория Хаоса - это труЪ сотонизмЪ Razz
А то что выше - это уже не тоооо, из разряда ненужных разделов околофизики Laughing шутка :-)
#4 Ссылка на пост Добавлено:
Sonia, прежде всего, спасибо за интересную тему.

Цитата:
"Эффект бобочки" смотрели многие

смотрели.. мне не особо понравилось.

Цитата:
Описание им этого явления в последующих лекциях привело к популярному ныне выражению «эффект бабочки»: взмах крыла бабочки может изменить погоду.


Насколько мне известно, понятие "эффект бабочки" вошло в оборот благодаря рассказу Рэя Брэдбери "И грянул гром" (A Sound of Thunder). Сюжет наверняка всем известен: человек отправляется в прошлое, на миллионы лет назад, и случайно наступает на бабочку. меняя таким образом ход истории. Возвращаясь в свое время, он не узнает его... Рассказ написан в 1952 году, а исследования Лоренца, на которые здесь ссылаются - это 60-е годы. Да и создатели фильма "Эффект бабочки", насколько мне известно, говорили. что взяли идею именно из этого рассказа.

В любом случае, и эффект бабочки, и теория хаоса очень интересны.
Я попробую немонжко короче изложить, что такое теория хаоса, а Sonia, надеюсь, меня поправт, если я ошибусь.
Итак, теория хаоса - это раздел теории вероятностей, который изучает повелдение сложных систем. Причем поведение таких систем настолько сложно и зависит от такого большого количества параметров, и точное значение параметров мы не знаем, что дать точное описание поведению системы мы не можем. Поэтому проводится серия экспериментов, в которых значение каждого из параметров в соответствии с его физическим смыслом задается в определенных пределах, но случайным - хаотическим - образом. К примеру, мы знаем, что какой-то параметр А, который влияет на описываемую нами систему, может принимать значения от 1 до 100. Мы проводим 1000000 экспериментов, присваивая параметру А любые случайные значения из интервала 1-100. Также поступают и с другими параметрами, влияющими на эту систему. В итоге мы получаем 1000000 вариантов поведения нашей системы, которую мы так старались описАть Smile, из этого миллиона выбираем наиболее часто встречающиеся и говорим: "Вероятнее всего, система поведет себя таким вот примерно образом".

Одно из приложений теории хаоса - проектирование высотных зданий. С помощью этой теории моделируют поведение людей в случае экстремальной ситуации - никто ведь точно не знает, куда все побегут и что будут делать в случае пожара или аварии. Поэтому, пользуясь приемами моделирования теории хаоса, выясняют те места в здании, где с наибольшей вероятностью скопится больше всего народу, и именно в этих местах делают аварийные выходы.

Преспективы теории хаоса... думаю, они связаны прежде всего с тем, что однажды в этой теории не будет надобности. Ведь в данном случае мы называем хаосом то, что не можем описать, то, что не можем объяснить. Постепенно человек будет все глубже проникать в тайны Вселенной, и окажется, что движение, которое казалось нам хаотичным, подчиняется вполне определенным законам.
Еще один пример теории хаоса "в действии": в термодинамике есть два основных понятия - энтальпия и энтропия. Энтальпия имет вполне определенный, понятный физический смысл - это энергия связей в молекулах. А энтропия? Во всех учебниках про нее сказано лишь то, что это "мера беспорядка системы", т.е. ни что иное, как мера хаоса. Но энтропия - не порождение некоего мифического хаоса, а плод вполне обыденных межмолекулярных взаимодействий, просто они настолько многочисленны и настолько сложны, что на сегодня мы не имеем возможности описать каждое из них в отдельности, поэтому и берем их совокупность - энтропию, меру хаоса. Но когда-нибудь математическое описание этих взаимодействий станет возможным, и хаос перестанет быть хаосом Smile.
#5 Ссылка на пост Добавлено:
Цитата:

благодаря рассказу Рэя Брэдбери "И грянул гром" (A Sound of Thunder)

Да, а ещё я и фильм такой смотрел, довольно новый вроде только менее популярный. Идея хорошая, исполнение - не очень, но мы не об этом конечно.
---
Как я слышал - Хаос - высшая ступень порядка (© Какой-то супер великий экономист)
---
Что касается меня то у меня слишком антиматематический мозгъ б понимать это дело в достаточном количестве, но всё же я думаю есть в этом смысл.
Думаю такие вещи как магические числа существуют и они рулят определёнными узкими сферами. Многие из них уже подмечены и широко используются. Чего стоит наше любимое ПИ - 3,14 (или как там его). Советую также прочитать где-то ближе к началу в книжке "Код ДаВинчи" автор описывает ещё одно. Очень интересно, ток не помню деталей...
#6 Ссылка на пост Добавлено:
Ковырялся я, ковырялся в разных источниках, да так и не выяснил, от кого же пошел "эффект бабочки" - от Брэдбери или от Лоренца - споров много, а толку мало. Ни один из них словосочетание не запатентовал, так что оно ничье Smile. Мне кажется, Лоренц употребил это словосочетание в том смысле, что каждый из аргументов, от которого зависит функция (погоды, в данном случае) настолько важен, что его изменение ведет к значительным изменениям функции. А Брэдбери в более общем, глобальном смысле - даже ничтожное изменение в прошлом может привести к огромным изменениям в будущем.
Фильм, кстати, (тот, который "И грянул гром") технически очень плохо продманный, в нем куча не то что неточностей, но и просто глупостей.

По поводу магических чисел - основных, вроде бы, всего три, это пи (3,1415926), е (2,718, дальше не помню) и золотое сечение. Трудно сказать, насколько они "магические", но они действительно повсюду, на них, можно сказать, вся жизнь построена, не только физика и математика. Даже форма листьев стремится к функции числа е. Что уж говорить про золотое сечение... Самый простой пример: когда мы подходим к пустой скамейке, мы садимся чаще всего не с краю, и не в серединке, а в какой-то промежуточной точке. Так вот, чаще всего человек делит собой скамейку именно в соотношении золотого сечения Rolleyes#2
#7 Ссылка на пост Добавлено:
General Bardak писал(а):


Преспективы теории хаоса... думаю, они связаны прежде всего с тем, что однажды в этой теории не будет надобности. Ведь в данном случае мы называем хаосом то, что не можем описать, то, что не можем объяснить. Постепенно человек будет все глубже проникать в тайны Вселенной, и окажется, что движение, которое казалось нам хаотичным, подчиняется вполне определенным законам.


Нет, ты не прав. Это одно из самых беспочвенных заблуждений человека - считать, что мир гармоничен, что природа гармонична. Законы, которые правляют поведением урагана например не поддаются описанию. Да и многое другое. Многие вещи в природе хаотичны, мы никогда не сможем вывести законы, по которым они развиваются или движутся. Потому что на уровне квантовой механики многие параметры случайны, ничем не обусловлены.
Вообще, почему все говорят, что природа гармонична? если бы она была гармонична, не было бы смысла в эволюции, а эволюция есть и продолжается до сих пор.
#8 Ссылка на пост Добавлено:
Цитата:

Вообще, почему все говорят, что природа гармонична? если бы она была гармонична, не было бы смысла в эволюции, а эволюция есть и продолжается до сих пор.

а почему гармония должна быть статичной, а не динамичной?

Недавно прочитала книгу Эрика Наймана "Теория хаоса", где говорится о применении теории хаоса в экономике.

Цитата:
Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью – ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления. И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.

мне очень понравился этот абзац. Да и в общем, книга достаточно понятно и с иллюстрациями описывет разные подходы к теории хаоса. Советую всем, кого интересует дання тема, почитать ееWink2
#9 Ссылка на пост Добавлено:
мне кажется что это лучше всего запостить сюда...

Парадокс конвертов губит природную симметрию случая



Двое исследователей из Австралии нашли перспективный подход к 80-летней загадке, объяснение которой может иметь последствия для массы теоретических и прикладных областей: от наглядного понимания некоторых парадоксов термодинамики и оптимизации работы технических систем до улучшения электронных схем и составления победной стратегии игры на фондовом рынке.

Называется эта загадка "Парадокс (проблема) двух конвертов" (Two envelopes problem). В различных вариациях и формулировках она известна математикам с 1930 года, хотя именно в облике двух конвертов была описана только в конце 1980-х.

Итак, играем. Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако вычисление средней ожидаемой "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

На разрешение данного парадокса не один раз претендовали различные учёные. Более того, идут даже споры о том, как понимать — в чём тут заключается сам парадокс. Но математическое сообщество до сих пор не пришло к консенсусу, так что задача осталась открытой.

Теперь же свою разгадку (вернее, подход вплотную к её окончательному разрешению) и своё видение подводных камней данной проблемы предложили Марк Макдоннел (Mark McDonnell) из университета Южной Австралии (University of South Australia) и Дерек Эбботт (Derek Abbott) из университета Аделаиды (University of Adelaide). Не расставив ещё всех точек над i, эти исследователи, как они считают, поняли, в чём заключалась принципиальная ошибка предшественников.

Сам Дерек (ключевая фигура в данном деле) признаёт, что первый намёк на решение парадокса возник не у него, а у профессора из Стэнфорда Томаса Ковера (Thomas M. Cover), признанного специалиста по теории информации и статистике. В 2003 году Эбботт работал в Британии (кстати, на своей родине). И вот как-то, обедая вместе с Ковером, он обсуждал с ним загадку двух конвертов. Томас и предложил оригинальную стратегию выигрыша, превосходящую в эффективности даже правило "всегда меняй конверты".

Заключается она в следующем. Нужно менять или не менять конверты в каждом заходе случайным образом, но с вероятностью, которая зависит от суммы, увиденной в первом конверте. То есть чем меньше сумма в конверте А, тем с большей вероятностью следует сменить конверт и наоборот, несколько большая сумма в А говорит о том, что скорее следует оставить первый конверт себе.

Тогда, в 2003-м, Дерек посчитал идею своего коллеги бредом и отказался продумывать такую стратегию. И учёного можно понять: рассудите сами, увиденная сумма не говорит человеку ровным счётом ничего о намерении, условно, ведущего (который раскладывает деньги), ведь игрок не знает — в каком вообще диапазоне играет его оппонент. Может быть, от 10 центов до 100 долларов, а может, от 5 долларов до ста миллионов. И увиденные, к примеру, однажды $25 равнозначно могут (в рамках всей партии) оказаться и сущей мелочью, и самой большой поставленной на кон суммой. И оттого неясно — стоит ли менять конверт в данном раунде игры или нет.

Однако, раскинув мозгами, Эбботт увидел за "стратегией Ковера" (так австралийские математики и назвали данный приём) глубокий философский и даже физический смысл. "Видимый парадокс возник потому, что нельзя избавиться от ощущения, что открытие конверта и наблюдение $10 на самом деле ещё не говорит вам ничего. И поэтому казалось странным, что ожидаемое значение вашего выигрыша в случае смены конверта составляет $12,5, — пояснил Эбботт. — Но мы объясняем этот казус с точки зрения нарушения симметрии. До открытия конвертов ситуация является симметричной, поэтому не имеет значения, будете вы менять потом конверт или нет. Однако после того как вы открываете конверт и используете стратегию Ковера, вы нарушаете симметрию (сразу после открытия конверта А оба конверта уже не равноценны), а затем обмен конвертов позволяет вам получить выгоду в долгосрочном плане (при большом числе заходов)".

Всё это напоминает ситуацию с "редукцией" кота Шрёдингера к одному из двух состояний (мёртв или жив), хотя до открытия коробки с ядом он находится в суперпозиции возможных состояний. Это проблема влияния наблюдателя на результат наблюдения. Чувствуете, что мы подбираемся к неким основам Природы?

Ныне свыше 20 миллионов компьютерных симуляций, проведённых Макдоннелом и Эбботтом, показали, что стратегия Ковера позволяет получить больше денег в игре с конвертами, чем простой обмен. А ещё, открыли австралийские учёные, предопределённый обмен, когда игрок выбирает альтернативный конверт только в том случае, если увиденная в первом сумма меньше заранее и наугад выбранного им самим (игроком) значения, тоже работает. И это так же противоинтуитивно, поскольку о минимальной планке "переключения" знает игрок, но не те, кто кладёт деньги в конверты.

Чтобы досконально понять, как это так получается, можно посмотреть статью авторов исследования в Proceedings of the Royal Society A. Для нас же важно общее объяснение тайны этой игры. И здесь нам потребуется обратиться к аналогиям из мира физики и не только.

Первая — "Броуновский храповик" (Brownian ratchet), придуманный знаменитым физиком Ричардом Фейнманом. Это мысленное устройство, являющее собой частный случай не менее знаменитого Демона Максвелла, отряжённого злостно нарушать второе начало термодинамики, то есть производить полезную работу без разности температур двух источников, а лишь за счёт внутренней (тепловой) энергии единственного объекта (сосуда с газом).
#10 Ссылка на пост Добавлено:


Устроен и действует фейнмановский храповик так (смотрите рисунок вверху). Имеются две камеры (ящика) с молекулами газа (они показаны красными кружками). Камеры соединяет миниатюрный вал (работающий без трения), на одном конце которого имеется колесо с лопастями (слева), а на противоположном — шестерёнка с храповым механизмом (справа). Между ними на валу — груз на верёвочке.

Храповик разрешает валу вертеться в одном направлении, но запрещает проворачиваться в другом. Броуновское движение молекул в левой камере приводит к хаотичным ударам их по лопастям, но поскольку двигаться лопасти могут только в одну сторону, эти удары постепенно сдвигают колесо, производя работу по поднятию груза за счёт только одной тепловой энергии молекул в первой камере.

"Хитрость с броуновским храповиком заключается в том, что он опять-таки использует идею разрушения симметрии", — говорит Эбботт. Данное устройство извлекает (вроде бы) полезную работу из броуновского движения, так же, как игрок "извлекает" повышение своего благосостояния из случайного обмена конвертов с нарушенной симметрией (по принципу Ковера). Неравноценная ситуация с вероятностями выигрыша и проигрыша в парадоксе конвертов — аналог храповика Фейнмана.

Правда, физически такой храповик не может существовать, даже если бы умелые нанотехнологи его смогли бы построить. Почему так — объяснил сам Фейнман. Защёлка храпового механизма должна быть сама достаточно небольшой, чтобы двигаться в ответ на удары отдельных молекул по лопастям "мельницы". А потому защёлка будет не менее хорошо колебаться и от собственного броуновского движения, время от времени раскрываясь и позволяя валу сдавать назад.

Фейнман высчитал, что если температуры (Т1 и Т2) в камерах равны — средняя сумма движений вперёд будет уравновешена средней суммой движений назад, так что сумма будет равна нулю. Если же T2 будет меньше Т1, то действительно можно было бы наблюдать движение данных колёс вперёд. Но в этом случае энергия будет добываться из градиента температур, в согласии с законами физики.

С деньгами всё несколько проще. Но броуновский храповик помогает нам понять принцип работы новой стратегии "обмана" envelopes problem. Ещё интереснее аналогия парадокса двух конвертов с другим математическим феноменом — парадоксом Паррондо (Parrondo's paradox).
Звучит он так: "Взяв две (основанные на случае) игры, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно".

Пример тут таков. Допустим, у нас есть начальный капитал. Далее мы пошагово прибавляем к нему $1 или вычитаем $1 в зависимости от результата бросания монеток (орёл-решка, угадали или нет). Но монетки не обычные, а ассиметричные, так что вероятность выпадения одной из сторон отлична от 50%.

Далее, у нас в игре с капиталом имеется на самом деле две игры — А и В. Причём в игре А используется монета 1 с вероятностью нашего выигрыша 0,5 — e, где е — чуть больше нуля. Понятно, что при большом числе бросков игра А — всегда проигрышна для нас.

В игре B имеются две (тоже несимметричные) монеты (2 и 3), существенно отличные по вероятности нашего выигрыша друг от друга: например (1/10) — е и (3/4) — е. Кроме того, заранее вводится наугад выбранное число М. И правило: если текущий капитал кратен М — в данном раунде бросаем монету 2, если не кратен — монету 3.

Всё тот же Эбботт ранее показал, что при М = 3 и е = 0,005 игра В — проигрышна так же, как и А. Ещё анализ говорит о том, что вероятность применения в очередном раунде "плохой" монеты округлённо составляет 0,6 против 0,4 для "хорошей", отсюда и проигрыш в сумме многих попыток. Но вот парадокс: чередование игр А и В позволяет нарастить капитал, несмотря на проигрышность обеих! Да, вовсе не любое чередование ведёт к победе. А только некоторые комбинации, к примеру, такая — ABBABB и так далее.

Для рассеивания иллюзии парадокса (а он таков только для наших поверхностных суждений, на деле же — закономерный итог теории вероятности, что показали модели с применением сложных принципов анализа) следует понимать, что в комбинации двух игр обе становятся связанными. Эту почти мистическую связь организует как раз число М. Ведь с его введением ход игры В начинает быть зависимым и от хода игры А. Если бы связи не было — любая комбинация игр всё равно приводила бы к проигрышу.

Тут и начинает брезжить свет в проблеме конвертов. Отдельные две игры с монетками являются проигрышными только при статистическом распределении результатов всех бросков партии, отличном от того, который формируется, когда объединяются эти две игры. Введение числа М и связи выбора монеты с капиталом (который, один-единственный, уменьшается и увеличивается как в игре А, так и в игре В) смещает вероятность распределения всех бросков в состояние, при котором появляется положительное ожидание (результата). А "конверты" и "Паррондо" — суть родственные парадоксы. Сам Дерек называет решение проблемы двух конвертов прорывом в области анализа парадокса Паррондо (имеющего массу проявлений в жизни). А главная ошибка ряда предшественников Дерека – высчитывание вероятности определённых событий с независимыми исходными переменными, которые независимыми на деле не являются.

И здесь пора перейти к третьей аналогии — из области финансов. "Volatility pumping" — "Накачка волатильности". Это не мифическая "золотая" программа для игры на бирже, но упрощённая модель, показывающая некоторые полезные особенности выигрышной стратегии игры с акциями (товарами, облигациями и прочим).

Понятно, что если игрок располагает информацией о приобретаемых финансовых инструментах (состояние компании, судебные дела против её менеджеров, урожай апельсинов в этом году или открытие нового месторождения нефти), он может составлять свой портфель осознанно. Но если ему не известно ничего, кроме текущей цены акции (или иного приобретения), и того, куда цена сейчас движется? Ни того, будет ли цена ещё падать, или позже начнётся рост? Ни того — является ли нынешняя цена максимальной, минимальной или позже будет огромный провал.

Как это похоже на выбор из двух конвертов: больше во втором сумма, чем та, что вы держите в руках, или меньше? "Насос волатильности" предполагает достаточно хаотичную куплю-продажу активов с небольшим лагом (купили дешевле — продали дороже), без всякого беспокойства о том, получили ли вы в данный момент самую большую выгоду от сделки или упустили шанс стать ещё богаче. И это очень похоже на случайную смену конвертов с некоторым "градиентом" в зависимости от величины наблюдаемой суммы (опять стратегия Ковера).

И это также похоже на принцип работы броуновского храповика. И этот же принцип схож с ситуацией, когда требуется улучшить работу технической системы при неполных данных об условиях её работы. "Вызывает удивление то, что наш анализ показывает — всегда можно увеличить полученный (в игре с конвертами) капитал, используя метод Ковера, ничего не зная о допустимом пределе суммы в раундах, равно как о статистическом распределении купюр по раундам", — говорит Дерек.

Но можно ли, допустим, применить следствие из парадокса Паррондо (или объяснения феномена конвертов) к фондовому рынку, то есть получить доход, комбинируя акции вроде игры АВВАВВ? Увы, парадокс требует, чтобы доходность по меньшей мере от одного инструмента зависела от величины текущего суммарного капитала (как выбор монеты от кратности уже выигранной суммы числу М), а это фикция. Или нет?

Умение разглядеть истинные связи между явлениями там, где связей, казалось бы, нет — очень ценное свойство учёного. Оно помогает объяснить процессы, выглядящие для поверхностного наблюдателя как невероятные. Так от пресловутой игры с двумя конвертами ниточка тянется ко множеству других областей, в которых проявляется взаимодействие объектов с асимметрией случайности, не важно, порождается ли такая асимметрия храповым механизмом, открытием конверта А или законами рынка.

И не зря, к примеру, Эбботт также известен как исследователь стохастического резонанса — парадоксального, на первый взгляд, явления усиления полезного (периодического) сигнала в нелинейных системах при добавлении к нему белого шума. Это интересное явление ныне находит применение в электронных системах.

Смотрите, какая красивая аналогия. Откуда "природа" знает, какую часть импульса усиливать? Это так же неизвестно, как и то, в каком из двух конвертов большая сумма денег. Однако, при ряде условий, вероятность правильного усиления оказывается выше, чем вероятность подавления полезной составляющей добавленными помехами. Так же как вероятность выигрыша в "конверты" может быть сознательно повышена, в пику кажущейся неопределённости исхода этой простой игры. Но какие уж тут игрушки.
Форум / Флейм анлимитед / Теория хаоса (чистой воды наука)
Загрузка...
Быстрый вход: